Proporción directa e inversa

Compra más cuadernos, paga más dinero; contrata más trabajadores, termina en menos días. Ambos cambios son sospechosamente ordenados, tan ordenados que se pueden predecir con una fórmula. Razones y proporción preparó el terreno; ahora instalamos el motor.

Proporción directa: el mismo multiplicador, juntos

Un cuaderno cuesta 3. Compra 1 y paga 3, compra 2 y paga 6, compra 5 y paga 15. Duplica la cantidad y el total se duplica: eso es proporción directa, escrita como

$y = kx$

Hay exactamente una prueba: $\frac{y}{x}$ siempre es igual al mismo número. Aquí $6 \div 2 = 15 \div 5 = 3$ , y esa constante 3 es la constante de proporcionalidad $k$ . En una gráfica, la proporción directa es una recta que pasa por el origen.

Proporción inversa: el producto se conserva

Un viaje de 60 km: a 60 km/h toma 1 hora, a 30 km/h toma 2 horas, a 20 km/h toma 3 horas. Menor velocidad, más tiempo, pero cada producto es $60 \times 1 = 30 \times 2 = 20 \times 3 = 60$ . Eso es proporción inversa, escrita como

$xy = k$

La prueba: $xy$ siempre es igual al mismo número. La versión de obra: 4 trabajadores terminan en 6 días, 8 trabajadores terminan en 3 días; el producto es 24 trabajador-días de cualquier manera.

Reconocerla a partir de una tabla

Dada una tabla de datos, primero divide, luego multiplica:

$x$	1	2	4
$y$	6	12	24

$\frac{y}{x}$ es 6 en cada columna: proporción directa, $k = 6$ , así que $y = 6x$ . Si dividir no da una constante, prueba multiplicar: por ejemplo, $x = 1, 2, 3$ con $y = 60, 30, 20$ mantiene el producto en 60; proporción inversa confirmada.

Las dos caras de la constante k

Piensa en $k$ como la tasa de cambio de la relación: para la proporción directa $k = \frac{y}{x}$ (cuánto $y$ compra cada unidad de $x$ ), para la proporción inversa $k = xy$ (el total conservado). Una vez que encuentras $k$ , cada celda vacía de la tabla se puede calcular.

InteractivoRectas de proporción

Cómo usar

Pendiente m1Intercepto b2

y = x + 2

intersección con y

(0, 2)

intersección con x

(-2, 0)

Pon $b$ en 0 y arrastra $m$ : cada recta que pasa por el origen es una declaración de proporción directa, y cuanto mayor es $m$ , más $y$ compra cada paso de $x$ . Arrastra $b$ lejos de 0 y la recta sigue siendo recta, pero deja de ser proporcional; mira el recordatorio de abajo.

Solo cuentan las rectas que pasan por el origen

Un taxi que cobra 10 de entrada más 2 por kilómetro tiene una relación lineal con la distancia, pero no es proporcional: viajar 0 km todavía cuesta 10. La proporción directa exige $y = 0$ cuando $x = 0$ ; solo empezar juntos desde cero merece ese nombre.

Compruébalo

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 3 bolígrafos cuestan 12. ¿Cuánto cuestan 7 bolígrafos iguales?
2. 6 trabajadores necesitan 10 días para construir una carretera. ¿Cuánto tiempo necesitan 12 trabajadores?
3. ¿Qué par está en proporción directa?