Ecuaciones simultáneas

Una incógnita con una ecuación: resolver ecuaciones lineales cubrió eso. Sin embargo, la vida real a menudo te entrega dos incógnitas a la vez: “¿Cuánto cuesta una manzana? ¿Y una naranja?”. Una sola pista deja infinitas respuestas; dos pistas juntas fijan la respuesta.

Dos incógnitas, dos pistas

Considera este par:

$x + y = 10, \qquad x - y = 2$

¿Qué son $x$ y $y$ ? La primera ecuación por sí sola tiene infinitas soluciones (1 y 9, 5 y 5, 6.5 y 3.5...); la segunda también. Una ecuación no puede resolverlo; solo juntas fijan un único par. Eso es lo que significa un “sistema”, y lo que significa “simultáneas”: el par que encuentres debe satisfacer ambas ecuaciones a la vez.

Sustitución: cambia una incógnita por una expresión

Sustitución, paso a paso

Resuelve $x + y = 10$ , $x - y = 2$ .

A partir de la segunda ecuación, escribe $x$ en términos de $y$ : $x = y + 2$ ;
Sustituye en la primera: $(y + 2) + y = 10$ , es decir, $2y + 2 = 10$ ;
Resta 2 a ambos lados, luego divide entre 2: $y = 4$ ;
Sustituye de vuelta: $x = y + 2 = 6$ .

La solución es $x = 6$ , $y = 4$ . Dos incógnitas, pero primero eliminamos una y aterrizamos en una ecuación familiar con una sola incógnita.

Eliminación: las incógnitas desaparecen al sumar

Un camino más rápido es simplemente sumar las dos ecuaciones: a la izquierda, $x + x$ da $2x$ , mientras que $y$ y $-y$ se cancelan; a la derecha, $10 + 2 = 12$ :

$2x = 12 \quad\Rightarrow\quad x = 6$

Sustituye $x = 6$ en cualquiera de las ecuaciones para obtener $y = 4$ . También podrías restar: $(x + y) - (x - y) = 10 - 2$ da $2y = 8$ , así que $y = 4$ . Mismo sistema, misma respuesta: sustitución y eliminación son dos caminos hacia un solo destino. Elige el que mejor se ajuste a los coeficientes.

En la práctica: manzanas y naranjas

Un sistema de ecuaciones de mercado

3 manzanas más 2 naranjas cuestan 13; 1 manzana más 1 naranja cuestan 5. ¿Cuánto cuesta cada una?

Sea $a$ una manzana y $o$ una naranja: $3a + 2o = 13$ y $a + o = 5$ .

De la segunda, $o = 5 - a$ ; sustituye: $3a + 2(5 - a) = 13$ ;
Expande: $3a + 10 - 2a = 13$ , así que $a + 10 = 13$ y $a = 3$ ;
Entonces $o = 5 - 3 = 2$ . Las manzanas cuestan 3, las naranjas cuestan 2.

Un atajo mental: duplica “1 manzana 1 naranja” en “2 manzanas 2 naranjas por 10” y compáralo con “3 manzanas 2 naranjas por 13”: lo extra es exactamente una manzana, que vale 3. Eso es eliminación hecha en tu cabeza.

Comprueba con ambas

Después de resolver, sustituye el par de vuelta en ambas ecuaciones: $6 + 4 = 10$ se cumple, $6 - 4 = 2$ se cumple; solo entonces terminaste. Una ecuación no basta; muchos pares satisfacen solo una.

Compruébalo tú mismo

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. x+y=10 y x−y=2. ¿Cuánto vale x?
2. ¿Por qué resolver dos incógnitas requiere dos ecuaciones?
3. 3 manzanas y 2 naranjas cuestan 13; 1 manzana y 1 naranja cuestan 5. ¿Precio de una manzana?