Diagramas de Venn

Alguns colegas de classe entraram para o clube de futebol, outros para o clube de basquete, e alguns entraram para os dois. As listas de membros estão em duas folhas de papel, e contar quem está nas duas listas — ou em nenhuma — vira uma bagunça. Desenhe as duas listas como dois círculos e tudo fica claro de uma vez. Isso é um diagrama de Venn: círculos que se sobrepõem para que os conjuntos possam ser organizados em ordem. Coletar dados começa com um questionário (veja pesquisas e amostragem); esta lição trata de desembaraçar os dados depois que eles voltam.

Interseção: a sobreposição

Sobreponha dois círculos e a região compartilhada no meio é a interseção — os membros que pertencem aos dois grupos. Alunos que gostam de futebol e basquete ficam exatamente ali.

Digamos que o conjunto $A$ tem 20 pessoas, o conjunto $B$ tem 14, e a interseção tem 6. Então a parte que pertence somente a $A$ é $20 - 6 = 14$ pessoas — subtraia os 6 primeiro para que ninguém seja contado duas vezes.

União: os dois círculos como um só

A área total coberta pelos dois círculos é a união — todos em pelo menos um grupo, possivelmente nos dois. Somar os tamanhos dos grupos diretamente contaria a interseção duas vezes, então a interseção deve ser subtraída de volta:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Com os números acima: $20 + 14 - 6 = 28$ pessoas. Esse 6 subtraído é exatamente o grupo contado duas vezes, agora contado uma vez por fim.

Complemento: o mundo fora do círculo

Dentro do círculo vivem os membros; fora dele também vivem histórias. O complemento é tudo "que não está no conjunto". De 40 alunos, 26 gostam de matemática — então o complemento, os que não gostam, totaliza $40 - 26 = 14$ . As pesquisas frequentemente ignoram justamente as pessoas fora do círculo.

Exemplo resolvido: dois clubes, uma imagem

Futebol e basquete

Em uma turma de 40, 25 alunos gostam de futebol, 18 gostam de basquete, e 10 gostam dos dois. Quantos gostam só de futebol, só de basquete e de nenhum?

Só futebol: $25 - 10 = 15$ ; só basquete: $18 - 10 = 8$ ; a interseção no meio tem 10. Somando as três regiões, $15 + 10 + 8 = 33$ alunos gostam de pelo menos um esporte, então $40 - 33 = 7$ não gostam de nenhum. Um diagrama de círculos responde quatro perguntas em uma única varredura.

E três círculos?

Troque por três círculos — sabe nadar, sabe andar de bicicleta, sabe andar de skate — e o interior da figura se divide em 7 regiões: 3 pertencentes exatamente a um grupo, 3 exatamente a dois, e 1 aos três, já que $3 + 3 + 1 = 7$ . Cada círculo extra aproximadamente dobra as regiões, então problemas com três conjuntos devem ser contados região por região. Esse hábito de contar regiões é a base para contar resultados em probabilidade.

Verifique-se

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. O conjunto A tem 20 pessoas, o conjunto B tem 14, e a interseção tem 6. Qual é o tamanho da união?
2. Em uma turma de 30, 18 alunos gostam de futebol, 15 gostam de basquete e 8 gostam dos dois. Quantos não gostam de nenhum?
3. Dois conjuntos têm uma interseção vazia. O que isso significa?