Resolvendo Equações Lineares

$3x + 5 = 17$ é um enigma: que número, vezes 3 mais 5, cai exatamente em 17? Chutar pode acabar encontrando, mas matemáticos têm um método — trate a equação como uma balança e encurrale $x$ com calma.

A regra da balança: mexa nos dois lados

O sinal de igual é o pivô: os dois pratos devem pesar o mesmo. Você pode fazer qualquer coisa com uma balança, desde que faça dos dois lados:

adicionar 5 aos dois lados ou subtrair 5 dos dois lados — continua equilibrada;
multiplicar os dois lados por 3 ou dividir ambos por 3 — continua equilibrada.

Resolver tem um objetivo: deixar $x$ sozinho em um lado. A ferramenta são as operações inversas — adição desfaz subtração, divisão desfaz multiplicação.

Isolando x, passo a passo

Primeiro, $3x + 5 = 17$ :

Subtraia 5 dos dois lados para limpar a constante não relacionada: $3x = 12$ ;
Divida os dois lados por 3 para soltar o coeficiente: $x = 4$ .

Agora uma com $x$ dos dois lados: $5x - 2 = 3x + 8$ .

Subtraia $3x$ dos dois lados para reunir os termos com $x$ : $2x - 2 = 8$ ;
Adicione 2 aos dois lados: $2x = 10$ ;
Divida os dois lados por 2: $x = 5$ .

Lema: reúna os termos com $x$ , elimine a constante, divida pelo coeficiente. Outras ordens às vezes funcionam, mas esta faz menos desvios.

Conferindo respostas e contando soluções

Não saia correndo depois de resolver — substitua de volta na equação original. Para $x = 4$ : o lado esquerdo dá $3 \times 4 + 5 = 17$ , e o lado direito também é 17. Para $x = 5$ : esquerda $5 \times 5 - 2 = 23$ , direita $3 \times 5 + 8 = 23$ . Conferir é exatamente Substituição em ação: uma solução é o número que torna a equação verdadeira.

Quantas soluções?

Uma equação linear geralmente tem exatamente uma solução, mas há exceções. $x + 1 = x + 2$ deixa $1 = 2$ depois de subtrair $x$ — uma contradição, então não há solução. E $x + x = 2x$ vale para todo $x$ — todo número é uma solução. Na balança: algumas balanças nunca conseguem se equilibrar; outras se equilibram não importa o que você coloque nelas.

Equações como retas

Equações também podem ser desenhadas. Resolver $2x + 1 = 5$ pergunta: onde a reta $y = 2x + 1$ atinge altura 5? A reta começa em $b = 1$ e sobe com inclinação $m = 2$ ; onde ela encontra a altura 5, a coordenada horizontal é exatamente $x = 2$ . A solução de uma equação é onde sua reta encontra essa linha de altura. O que $m$ e $b$ significam é o tema de Equação de uma Reta.

InterativoEquações como Retas

Como usar

Inclinação m1Intercepto b2

y = x + 2

intercepto em y

(0, 2)

intercepto em x

(-2, 0)

Coloque os controles deslizantes em $m = 2$ e $b = 1$ , caminhe ao longo da reta até a altura 5 e leia a coordenada horizontal — essa é a solução de $2x + 1 = 5$ . Experimente outros valores de $m$ e $b$ e veja a solução se mover.

Verifique você mesmo

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. Resolva 2x+3=11. Quanto é x?
2. Resolva 5x−2=3x+8. Quanto é x?
3. Quantas soluções x+1=x+2 tem?