Inequações

Uma equação diz "exatamente 49 yuan", mas a vida fala mais em "pelo menos 1,2 m de altura para andar" ou "a bolsa não comporta mais que 10 livros". Frases que carregam "pelo menos" e "não mais que" são escritas na matemática como inequações. A maioria dos movimentos de resolução vem direto de Resolvendo Equações Lineares — com um ponto que precisa de cuidado especial, revelado abaixo.

Os quatro símbolos

$a < b$ : a é menor que b, então a fica à esquerda de b;
$a > b$ : a é maior que b, então a fica à direita de b;
$a \le b$ : a é no máximo b — menor ou exatamente igual, ambos servem;
$a \ge b$ : a é pelo menos b — maior ou exatamente igual, ambos contam.

O par com sinal de igual ( $\le$ , $\ge$ ) é o mais fácil de confundir: "não mais que 8 pessoas" pode ser exatamente 8; "mais que 8" não pode — você precisa de 9 para se qualificar.

Desenhando na reta numérica

A resposta de uma inequação muitas vezes não é um número, mas um intervalo inteiro de números, e a reta numérica é seu retrato:

$x > 3$ : todo número à direita de 3. Desenhe um círculo aberto em 3 (o próprio 3 não serve) e uma seta apontando para a direita;
$x \le -1$ : −1 e tudo à sua esquerda. Desenhe um ponto fechado em −1 (−1 serve) e uma seta apontando para a esquerda.

Aberto ou fechado

Com sinal de igual ( $\le$ , $\ge$ ), o ponto é fechado — o extremo entra; sem ele ( $<$ , $>$ ), o círculo é aberto — o extremo fica fora. Uma linha para lembrar: igual significa sólido.

Resolva como uma equação, com uma virada

Mover termos, adicionar ou subtrair a mesma quantidade dos dois lados — todos os antigos movimentos de equação funcionam:

$x + 2 > 5 \implies x > 3$

Mas no momento em que você multiplica ou divide os dois lados por um número negativo, o sinal deve inverter:

$-2x < 6 \implies x > -3$

Por quê? Números negativos espelham a reta numérica: originalmente $2 < 3$ ; depois que ambos mudam de sinal, vira $-2 > -3$ . Virar o mundo inverte o menor que em maior que.

Confira para confiar

Resolver $-2x < 6$ deu $x > -3$ . Teste $x = 0$ (à direita de $-3$ ): o lado esquerdo é $-2 \times 0 = 0$ , e de fato $0 < 6$ — funciona. Depois teste $x = -4$ (à esquerda de $-3$ ): o lado esquerdo é $-2 \times (-4) = 8$ , e $8 < 6$ falha — a região rejeitada merecia ser rejeitada.

Inequações no cotidiano

Montanha-russa: altura $h \ge 1.2$ m — exatamente 1,2 m entra;
Elevador: número de passageiros $n \le 10$ — a décima primeira pessoa espera a próxima viagem;
Bateria do celular: um alerta dispara quando a carga $b \le 20\%$ .

Traduzindo uma frase para uma inequação

"Passageiros mais altos que 1,4 m compram ingresso de adulto": seja a altura $h$ em metros. "Mais altos que" exclui o próprio 1,4, então escreva $h > 1.4$ . Se a regra fosse "1,4 m ou mais", ela vira $h \ge 1.4$ — uma palavra de diferença, símbolos diferentes.

Verifique você mesmo

Questionário rápido

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1. Como você escreve “não mais que 8 pessoas” em símbolos?
2. Resolva -2x < 6. O que você obtém?
3. Na reta numérica, como é desenhado o extremo de x ≥ 1?