Carré magique

Placez les nombres de 1 à 9 dans une grille 3×3 afin que chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales aient la même somme — peut-être le plus ancien puzzle numérique que les humains jouent. Il semble infiniment variable, mais il a exactement une solution essentielle.

Une tortue et le Lo Shu

La légende raconte qu'il y a plus de quatre mille ans, une tortue est sortie de la rivière Luo portant un motif 3×3 sur sa carapace dans lequel chaque ligne, colonne et diagonale somme à la même valeur. Les Chinois l'appellent le carré Lo Shu — le plus ancien carré magique connu :

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Essayez de placer les nombres vous-même et ressentez pourquoi c'est à la fois difficile et élégant :

Comment utiliser

Place 1–9 pour que chaque ligne, colonne et diagonale ait une somme de 15

·········

Restants

123456789

Montrer un exemple de solution

Pourquoi chaque ligne somme à 15

La somme partagée n'est pas négociable — elle est forcée. Additionnez d'abord tous les nombres :

$1 + 2 + \cdots + 9 = 45$

Les trois lignes ensemble contiennent chacun des 9 nombres exactement une fois, donc les trois sommes des lignes totalisent 45, et chaque ligne doit être :

$45 \div 3 = 15$

Avant de placer un seul nombre, vous connaissez déjà la cible. Les colonnes et les deux diagonales fonctionnent de la même manière — elles doivent aussi être 15. Une autre entrée dans le grand livre : les quatre coins pairs 2+4+6+8 somme à 20, et les quatre milieux de bords impairs 1+3+7+9 somme également à 20 — les 40 restants se divisent en deux.

Pourquoi le centre doit être 5

Fixez du regard la cellule centrale : elle appartient à 4 lignes à la fois — la ligne du milieu, la colonne du milieu et les deux diagonales, plus que toute autre cellule. Additionnez ces 4 lignes :

$15 \times 4 = 60$

Dans ce 60, chacun des 9 nombres a été compté une fois (45 en total), et seul le centre a été compté trois fois de plus. Le surplus est :

$60 - 45 = 15 = 5 \times 3$

Donc le centre doit être 5 — il n'y a pas d'alternative. Au fait : les quatre coins ne peuvent être que les nombres pairs 2, 4, 6, 8, et le milieu de chaque bord prend un nombre impair 1, 3, 7, 9. Pair et impair ont chacun des sièges assignés — ce qui est aussi le mouvement d'ouverture pratique : placez le 5 d'abord, puis les quatre coins pairs, et les impairs se glissent à leur place tout seuls.

Il n'y a qu'une seule réponse

Quand vous êtes bloqué, il est tentant de supposer qu'il doit y avoir de nombreux arrangements et que vous n'en avez tout simplement pas trouvé un. La vérité est l'inverse. Faites pivoter le carré Lo Shu ou retournez-le comme un miroir et vous pouvez produire 8 carrés d'apparence différente — mais ce sont tous le même en dessous : quels nombres sont voisins ou en face les uns des autres ne change jamais. Tout ce qui dépasse la rotation et la réflexion échoue.

Vérifiez-vous

Quiz rapide

Réessayer

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Dans un carré magique 3×3 (utilisant 1–9), quelle doit être la somme de chaque ligne, colonne et diagonale ?

   91545

2. 2. Pourquoi la cellule centrale doit-elle être 5 ?

   Parce que 5 est le milieu de 1–9Parce que le centre se trouve sur 4 lignes, compté 3 fois de plus : 60−45=15=3×5N'importe quel nombre fonctionnerait là

3. 3. Si vous faites pivoter un carré magique 3×3 de 90°, fonctionne-t-il toujours ?

   Non, les nombres ont bougéOui, c'est essentiellement le même carréOui, mais cela compte comme une nouvelle solution