Desenhos em Escala

A escola pode estar a quilómetros de distância, e ainda assim o mapa cabe na palma da mão; um edifício ergue-se a dezenas de metros de altura, e ainda assim a sua planta baixa fica plana sobre uma mesa. Desenhar o mundo encolhido por uma razão fixa depende das habilidades treinadas em razões e proporção — a escala.

Uma escala é um código secreto

1 : 100 lê-se "um para cem" e significa: 1 unidade no desenho, 100 unidades na realidade. 1 cm no papel é 100 cm — um metro — na vida real; 1 m no papel é 100 m no mundo.

Quanto maior o segundo número, mais difícil é o encolhimento: um plano de bairro usa 1 : 500, um mapa da cidade 1 : 100000, e um mapa-múndi encolhe ainda muito mais.

Ler uma planta

Numa planta baixa à escala 1 : 50, uma parede está desenhada com 2 cm de comprimento. Qual é o comprimento da parede real?

$2 \times 50 = 100 \ \mathrm{cm} = 1 \ \mathrm{m}$

Uns escassos 2 centímetros no papel, um metro inteiro na vida — cada linha num desenho deve ser ampliada assim.

Converter nos dois sentidos: multiplicar para cima, dividir para baixo

Desenho → real: multiplicar pelo segundo número. Numa planta 1 : 200 medes 5 cm:

$5 \times 200 = 1000 \ \mathrm{cm} = 10 \ \mathrm{m}$

Real → desenho: dividir pelo segundo número. Para caber uma sala com 12 m de largura numa planta 1 : 150:

$12 \ \mathrm{m} = 1200 \ \mathrm{cm}, \qquad 1200 \div 150 = 8 \ \mathrm{cm}$

Iguala as unidades antes de tocar nos números — ambos os extremos de uma escala devem falar a mesma unidade. Misturar metros com centímetros atira a resposta para fora por um fator de cem.

A área escala pelo quadrado

O comprimento vezes 100 — então a área vezes o quê? Não 100, mas $100 \times 100 = 10000$ . Verifica: um tapete real de 2 m × 2 m desenhado a 1 : 100 torna-se 2 cm × 2 cm. A área real é 4 m², isto é, 40000 cm²; a área desenhada é 4 cm² — exatamente 10000 vezes mais pequena.

Portanto, a razão da área é o quadrado da razão do comprimento: um desenho a 1 : 10 difere 100 vezes em área; um mapa a 1 : 1000 difere um milhão de vezes. O comprimento estica uma direção, a área estica duas ao mesmo tempo — daí o quadrado.

Não escalonar a área como o comprimento

Numa planta 1 : 100, um canteiro de flores mede 6 cm². Qual é a área real? Não 600 cm², mas $6 \times 10000 = 60000 \ \mathrm{cm^2}$ — isto é, 6 m². Eleva ao quadrado primeiro, depois converte.

Escalonar no plano de coordenadas

InterativoPlano de Escala

Como usar

x3y-2

(3, -2) → Quadrante IV

Ande x passos horizontalmente, depois y passos verticalmente — o par ordenado (x, y) fixa exatamente um ponto.

Trata o plano de coordenadas como o desenho: as coordenadas de cada ponto são os "centímetros" no papel. Para ampliar uma figura 3 vezes, multiplica cada coordenada por 3 — mesma forma, maior tamanho. Esta transformação de "forma inalterada, tamanho alterado" é o território familiar das figuras semelhantes de congruência e semelhança: um mapa 1 : 100 e o mundo real são um par de figuras semelhantes que diferem por 100.

Verifica-te

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. Num mapa 1 : 1000, duas cidades estão a 4 cm de distância. Qual é a distância real?
2. Uma sala com 9 m de largura deve caber numa planta 1 : 150. Qual é o comprimento desenhado?
3. Um modelo à escala 1 : 10 — a sua área de superfície é que fração da coisa real?