Proporção Direta e Inversa

Compre mais cadernos, pague mais dinheiro; contrate mais trabalhadores, termine em menos dias. Ambas as mudanças são suspeitosamente organizadas — organizadas o bastante para prever com uma fórmula. Razões e proporção preparou o terreno; agora instalamos o motor.

Proporção direta: o mesmo multiplicador, juntos

Um caderno custa 3. Compre 1 e pague 3, compre 2 e pague 6, compre 5 e pague 15. Dobre a quantidade e o total dobra — isso é proporção direta, escrita como

$y = kx$

Há exatamente um teste: $\frac{y}{x}$ sempre é igual ao mesmo número. Aqui $6 \div 2 = 15 \div 5 = 3$ , e essa constante 3 é a constante de proporcionalidade $k$ . Em um gráfico, a proporção direta é uma reta que passa pela origem.

Proporção inversa: o produto é conservado

Uma viagem de 60 km: a 60 km/h leva 1 hora, a 30 km/h leva 2 horas, a 20 km/h leva 3 horas. Menor velocidade, mais tempo — mas todo produto é $60 \times 1 = 30 \times 2 = 20 \times 3 = 60$ . Isso é proporção inversa, escrita como

$xy = k$

O teste: $xy$ sempre é igual ao mesmo número. A versão do canteiro de obras: 4 trabalhadores terminam em 6 dias, 8 trabalhadores terminam em 3 dias — o produto é 24 trabalhador-dias de qualquer forma.

Reconhecendo a partir de uma tabela

Dada uma tabela de dados, divida primeiro, depois multiplique:

$x$	1	2	4
$y$	6	12	24

$\frac{y}{x}$ é 6 em todas as colunas — proporção direta, $k = 6$ , então $y = 6x$ . Se dividir não der uma constante, tente multiplicar: por exemplo, $x = 1, 2, 3$ com $y = 60, 30, 20$ mantém o produto em 60 — proporção inversa confirmada.

As duas faces da constante k

Pense em $k$ como a taxa de troca da relação: para proporção direta $k = \frac{y}{x}$ (quanto de $y$ cada unidade de $x$ compra), para proporção inversa $k = xy$ (o total conservado). Depois que você encontra $k$ , cada célula vazia da tabela pode ser calculada.

InterativoRetas de Proporção

Como usar

Inclinação m1Intercepto b2

y = x + 2

intercepto em y

(0, 2)

intercepto em x

(-2, 0)

Defina $b$ como 0 e arraste $m$ : toda reta que passa pela origem é uma declaração de proporção direta, e quanto maior for $m$ , mais $y$ cada passo de $x$ compra. Afaste $b$ de 0 e a reta continua reta, mas deixa de ser proporcional — veja o lembrete abaixo.

Só contam as retas que passam pela origem

Um táxi que cobra 10 de bandeirada mais 2 por quilômetro tem uma relação em linha reta com a distância — mas ela não é proporcional: andar 0 km ainda custa 10. A proporção direta exige $y = 0$ quando $x = 0$ ; só começar junto do zero merece esse nome.

Verifique-se

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 3 canetas custam 12. Quanto custam 7 das mesmas canetas?
2. 6 trabalhadores precisam de 10 dias para construir uma estrada. Quanto tempo 12 trabalhadores precisam?
3. Qual par está em proporção direta?