Números Primos

Tente organizar 12 balas em um retângulo: 3×4 funciona, assim como 2×6. E 7 balas? Apenas uma única fileira solitária — nada divide 7 exatamente.

Números assim são chamados de primos. Eles são os átomos do mundo dos números inteiros: todo outro número é construído multiplicando primos entre si.

Exatamente dois fatores

Um fator de um número é um número que o divide exatamente. O número 12 tem seis fatores: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Mas 7 tem apenas 1 e 7 — exatamente dois, e essa é a definição:

• Primos (exatamente 2 fatores): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
• Compostos (3 ou mais fatores): 4, 6, 8, 9, 10, 12…

Os fatores sempre vêm em pares: $12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$. Pare de formar pares ao chegar ao meio — é exatamente por isso que a verificação de primos pode parar cedo, como você verá abaixo.

Digite um número e veja se ele sobrevive ao teste:

Como usar

60 não é primo

Fatoração em primos：60 = 2² × 3 × 5

Primos até 60

235711131719232931374143475359…

Por que 1 não conta

O número 1 tem apenas um fator: ele mesmo. Um primo precisa de exatamente dois, então 1 não é primo nem composto. Isso não é pedantismo — é o que torna as fatorações em primos únicas. Se 1 contasse, então 12 poderia ser escrito como 2×2×3, ou 1×2×2×3, ou 1×1×2×2×3… para sempre.

Um fato bônus: 2 é o único primo par. Todo outro número par tem pelo menos três fatores — 1, 2 e ele mesmo.

Decompondo números até o fim

Escrever um número como um produto de primos é chamado de fatoração em primos. Continue dividindo até restarem apenas primos:

$60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$

Comece com 6×10 ou com 2×30 — não faz diferença. Você chega a $2 \times 2 \times 3 \times 5$ de qualquer forma: rotas diferentes, mesmo destino. Esse é o benefício de excluir 1: a fatoração é única. Um composto é uma construção LEGO acabada; os primos são os tijolos básicos na caixa.

Os primos nunca acabam

Há mais de dois mil anos, Euclides provou que existem infinitos primos, com um argumento tão elegante quanto um truque de mágica: multiplique todos os primos que você conhece e some 1, por exemplo $2 \times 3 \times 5 \times 7 + 1 = 211$. Esse novo número não é divisível por nenhum primo da sua lista — então ou ele é primo, ou tem um fator primo totalmente novo. De qualquer forma, os primos continuam.

Hoje, os primos protegem seu dinheiro: a segurança de pagamentos online depende do fato de que multiplicar dois primos grandes é fácil, mas dividir o produto de volta em seus dois primos é brutalmente difícil.

Os primos também têm uma peculiaridade encantadora: eles aparecem sem nenhuma ritmo. 11 e 13 ficam lado a lado (esses pares são chamados de primos gêmeos), mas a partir de 23 o próximo primo está a 5 números de distância, em 29, e de 89 leva um intervalo de 7 para chegar a 97. Eles parecem espalhados aleatoriamente — mas cada um é estritamente definido.

Verifique-se

Questionário rápido

Tentar de novo

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 1. Qual destes é primo?

   212933

2. 2. Por que 1 não é primo?

   É pequeno demaisTem apenas 1 fatorÉ ímpar

3. 3. Qual é a fatoração em primos de 60?

   2×306×102×2×3×5