展开括号 · MathLumo

$(x+2)(x+3)$ 这副模样看着吓人，其实拆开它只需要一条定律。因式分解是把式子装回括号里，而今天做的是反方向：把括号展开，让每一项都晒在太阳底下。

分配律：一人请全场

括号外的人进门前，必须跟里面的每一项握手。 $3(x+4)$ 就是 3 分别乘 $x$ 和 4：

$a(b+c) = ab + ac$

$3(x+4) = 3x + 12$

画成箭头图就是：从 3 出发，一支箭指向 $x$ ，另一支指向 4，两个落点各留一份战利品。漏掉任何一支箭，答案就缺一块。

两个括号相乘，规矩是每一个都配每一个。拿 $(x+2)(x+3)$ 画张格子表：

$\times$	$x$	$+3$
$x$	$x^2$	$3x$
$+2$	$2x$	$6$

四个格子加起来：

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

有人管这叫 FOIL：先乘头、再乘外、再乘内、最后乘尾——和格子法是同一件事的两套说法。

数字不吓人，负号才吓人。两条军规：

负号进括号，全员变号

$-(x-4)$ 的负号不是只管第一项。它乘了 $x$ 也乘了 $-4$ ，所以出来的是 $-x + 4$ ，不是 $-x - 4$ 。展开前先看清负号的地盘有多大。

展开最容易错，但验算也最容易：随便代个 $x$ ，两边应当相等。取 $x = 1$ ：

$(1+2)(1+3) = 3 \times 4 = 12 \qquad 1^2 + 5 \times 1 + 6 = 12$

两边都是 12，展开没有错。想更放心就再换 $x = 2$ 试一次（两边都是 20）。代入求值的功夫，在代入求值一课里练过。

互动演示展开机

操作提示

机器里藏了一条规则，输入几个数试试，猜猜它是什么？

? ? ?

输出

—

机器不在乎表达式长什么样，只在乎喂进去的 $x$ 吐出什么。 $(x+2)(x+3)$ 和 $x^2+5x+6$ 外表不同，喂同一个数却吐出同一个结果——展开的实质，就是把同一台机器换个写法。

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