Cuadrado mágico

Coloca los números del 1 al 9 en una cuadrícula de 3×3 de modo que cada fila, cada columna y ambas diagonales tengan la misma suma: posiblemente el acertijo numérico más antiguo que juega la humanidad. Parece infinitamente variable, pero tiene exactamente una solución esencial.

Una tortuga y el Lo Shu

Cuenta la leyenda que hace más de cuatro mil años, una tortuga salió a la superficie del río Luo con un patrón de 3×3 en su caparazón en el que cada fila, columna y diagonal sumaba el mismo valor. Los chinos lo llaman el cuadrado Lo Shu, el cuadrado mágico más antiguo conocido:

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Prueba colocar los números tú mismo y siente por qué es difícil y elegante a la vez:

Cómo usar

Coloca 1–9 para que cada fila, columna y diagonal sume 15

·········

Restantes

123456789

Mostrar una solución de ejemplo

Por qué cada línea suma 15

La suma compartida no está en negociación: está forzada. Primero suma todos los números:

$1 + 2 + \cdots + 9 = 45$

Las tres filas juntas contienen cada uno de los 9 números exactamente una vez, así que las sumas de las tres filas totalizan 45, y cada fila debe ser:

$45 \div 3 = 15$

Antes de colocar un solo número, ya conoces el objetivo. Las columnas y las dos diagonales funcionan igual: también deben ser 15. Un apunte más en el registro: las cuatro esquinas pares 2+4+6+8 suman 20, y los cuatro centros de borde impares 1+3+7+9 también suman 20; los 40 restantes se dividen por la mitad.

Por qué el centro debe ser 5

Mira fijamente la celda central: pertenece a 4 líneas a la vez: la fila central, la columna central y ambas diagonales, más que cualquier otra celda. Suma esas 4 líneas:

$15 \times 4 = 60$

Dentro de ese 60, cada uno de los 9 números se contó una vez (45 en total), y solo el centro se contó tres veces extra. El excedente es:

$60 - 45 = 15 = 5 \times 3$

Así que el centro debe ser 5: no hay alternativa. Por cierto: las cuatro esquinas solo pueden ser los números pares 2, 4, 6, 8, y el centro de cada borde toma un número impar 1, 3, 7, 9. Impares y pares tienen asientos asignados, lo que también da la jugada inicial práctica: coloca primero el 5, luego las cuatro esquinas pares, y los impares encajan por sí solos.

Solo hay una respuesta

Cuando te atascas, es tentador suponer que debe haber muchos arreglos y que simplemente no has encontrado uno. La verdad es lo contrario. Rota el cuadrado Lo Shu o refléjalo como en un espejo y puedes producir 8 cuadrados que se ven diferentes, pero todos son el mismo en el fondo: qué números están junto a otros o frente a otros nunca cambia. Cualquier cosa más allá de rotación y reflexión falla.

Compruébalo tú mismo

Cuestionario rápido

Intentar de nuevo

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. En un cuadrado mágico de 3×3 (usando 1–9), ¿cuánto debe sumar cada fila, columna y diagonal?

   91545

2. 2. ¿Por qué la celda central debe ser 5?

   Porque 5 está en medio de 1–9Porque el centro está en 4 líneas, contado 3 veces extra: 60−45=15=3×5Cualquier número funcionaría allí

3. 3. Si rotas un cuadrado mágico de 3×3 por 90°, ¿todavía funciona?

   No, los números se movieronSí, es esencialmente el mismo cuadradoSí, pero cuenta como una solución nueva